圣彼德堡悖论

伤蓝

“圣彼德堡悖论”是决策论中的一个悖论。

圣彼德堡悖论是数学家丹尼尔 · 伯努利的堂兄尼古拉 · 伯努利在１7３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼德堡游戏。

设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。

如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。

按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结 果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。

游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。

随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为 1 ，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为 “ 无穷大 ” 。

按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。

正如 Hacking （１９８０）所说： “ 没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。。”

这就出现了计算的期望值与实际情况的 “ 矛盾 ” ，问题在哪里 ?

实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？

决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给 “ 期望值准则 ” 提出了严峻的挑战？

正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。

灵谜工藤

知识点＋1

Mr.Lei

画大饼操作，实际的游戏期望不会很大的。
假设你平均一秒做一次这个游戏，那么就算从宇宙诞生到现在一共138亿年你一直在玩，也就是说n＝138e8*365*24*3600，那么通过拟合函数计算出来的游戏期望也只有30.7元而已。