理发师悖论
小城里的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸”。那谁来给他刮脸？假设你路过一家理发店，标语上写着：“你给自己刮脸么？如果不是，请允许小店帮您刮脸！我只帮城里有所不自己刮脸的人刮脸，其他人一概不刮。”这个简单的介绍足够让你走进这家理发店了，但是接下来你发现了问题——理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，那么他就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺，如果他不给自己刮脸，那么他必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都导致这句话说不通。理发师悖论由英国数学家、哲学家、社会的先知、言论自由最勇敢的斗士勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。悖论的发表带来的巨大难题改变了整个20世纪数学界的研究方向。理发师悖论中，条件规定“帮自己刮脸”，但只帮自己刮脸的男人的集合无法建立，即使这个条件非常简单，但是无法确定理发师应不应该在这个集合内。所以两种条件都会导致矛盾。所有对理发师悖论的解答都将目光限定在可能的集合类型上。罗素自己提出了一套“类型理论”，这套理论将语句分为不同级别：最低级别是关于个体的语句，第二层级别是关于个体集合的语句，以此类推。这种理论避免了包含所有集合但不包含自身的全集，因为两种语句属于不同类型——即不同级别。罗素悖论的解答方案中最受欢迎的应该是策梅洛-弗兰克尔公理化集合论。这种公理化集合论限制了对简单集合论的随意假设，因为如果给出一个限定条件，你总是能指定出恰好符合条件的集合。但是在策梅洛-弗兰克尔公理化集合论中，你只能从给定个体入手，从中挑选内容形成集合。也就是说，不用先假定有一个包含所有集合的全集，也避免了将包含所有集合从包含了自身的集合中剔除出来(实际上并不包含)。你用不着构思步骤、建立个别、再将这个分支集合划入任何给定集合。理发师悖论的一种解决思路：换成女理发师。
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